1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|2x1 ，B=x|x 1，则 AB=（ ） Ax|x1B x|x0Cx|0x1Dx|x1 2设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数若复数 z 满足（25i ） =29，则 z=（ ） A25iB2+5iC 25iD2+5i 3已知命题 p：“存在 x01，+） ，使得（log 23） 1”，则下列说法正确的是（ ） Ap 是假命题；p“任意 x1，+） ，都有
2、（log 23） x1” Bp 是真命题；p“ 不存在 x01，+） ，使得（log 23） 1” Cp 是真命题；p“ 任意 x1，+） ，都有（log 23） x1” Dp 是假命题；p“任意 x（，1） ，都有（log 23） x1” 4设随机变量 N（， 2） ，且 P（ 1）=P（2）=0.3，则 P（ 2 +1）=（ ） A0.4B0.5C0.6D0.7 5已知三棱锥的主视图与俯视图如图，俯视图是边长是 2 的正三角形，那么该三棱锥的左 视图可能为（ ） A B C D 第 2 页（共 25 页） 6如图给出的是计算 + + + 的值的一个程序框图，则判断框内可填入的条件 是（ ）
3、 Ai1006B i1007Ci1007Di1006 7已知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 最大值是最小值的 2 倍，则 a 的值是（ ） A2B C D 8函数 f（x）=sin（ x+） （其中| | ）的图象如图所示，为了得到 y=sinx 的图象， 只需把 y=f（x）的图象上所有点（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 9已知向量 ， 是单位向量，若 =0，且| |+| 2 |= ，则| + |的取值范围是 （ ） A ，5B ， C ， D ， 10已知点 A、B、C、D 在同一球面上，AB=3，BC=4 ，AC=
4、5，若四面体 ABCD 体积的 最大值为 10，则这个球的表面积为（ ） A B C D 第 3 页（共 25 页） 11设双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是以 F1F2 为直 径的圆与双曲线在第一象限的一个交点，连接 PF2 并延长，与双曲线交于点 Q，若 |PF1|=|QF2|，则直线 PF2 的斜率为（ ） A2B3C1D 12已知函数 f（x）=x lnx+k，在区间 ，e上任取三个数 a，b，c，均存在以 f（a） ， f（b） ，f （c）为边长的三角形，则 k 的取值范围是（ ） A （1， +） B （，1）C （ ，e3）D （e3，+）
5、 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 X 是离散型随机变量，其分布列为其中 a0，b0，则 + 的最小值为 X 0 1 2 P a b 14若函数 f（x）= 的图象关于 y 轴对称，则 a 的值为 15已知（1x 2y） 5 的展开式中不含 x 项的系数的和为 m，则 xmdx= 16已知等差数列a n中，a 16= ，若函数 f（x）=sin2x 2cos2 ，c n=f（a n） ，则数列c n 的前 31 的和为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17如图，在四边形 ABCD 中，AB=4，BC=
6、 ，CD= ，A= ，cos ADB= （1）求 BD 得长； （2）求ABC+ADC 的值 第 4 页（共 25 页） 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按0，10 ， （10，20， （20，30， （30，40 ， （40，50 分组，得到频率分布直方图 如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位： 箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） （）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一
7、个不高 于 20 箱的概率； （）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入 各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 19如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAC底面 ABCD，BC=CD= AC=2， （1）证明：AP BD （2）若 AP= ，且三棱锥 BAPC 的体积为 2 时，求二面角 ABPC 的余弦值 20设抛物线 C1：y 2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2，椭圆 C2 以 F1，F 2 为焦点且 椭圆 C2 上的点到 F1 的距离的最大值为 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2
8、，与抛物线 C1 交于 A1、A 2 两点，与椭圆 C2 交于 B1、B 2 两点，当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时，求|A 1A2|的长； （3）若 M 是椭圆上的动点，以 M 为圆心，MF 2 为半径作 M 是否存在定圆N，使得 M 与N 恒相切，若存在，求出N 的方程；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 25 页） 21已知函数 f（x）=e xkx（x R） （）若 k=e，试确定函数 f（x）的单调区间； （）若 k0 且对任意 xR，f （|x|）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （）设函数 F（x）=f （x）+f（x） ，求证：F（1）F（2）F（n）（e n
9、+1） +2） （nN *） 选做题（请从 22,23,24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4- 1：几何证明选讲（共 1 小题，满分 10 分） 22选修 41：几何证明选讲 如图，已知 C 点在 O 直径的延长线上，CA 切O 于 A 点，DC 是ACB 的平分线，交 AE 于 F 点，交 AB 于 D 点 （1）求ADF 的度数； （2）若 AB=AC，求 AC：BC 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ） ，半径 r= （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0， ） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线
10、l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 第 6 页（共 25 页） 选修 4-5：不等式选讲 24设函数 f（x）=|2x+1| ，xR （1）求不等式|f（x）2| 5 的解集； （2）若 g（x）= 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2015-2016 学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|2x1 ，B=x|x 1，则 AB=（ ） Ax|x1B x|x0Cx|0x1Dx|
11、x1 【考点】交集及其运算 【分析】解指数不等式可以求出集合 A，进而根据集合交集及其运算，求出 AB 【解答】解：集合 B=x|2x1=（0，+） ， 又 B=x|x1， 故 AB=x|0x1 故选 C 2设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数若复数 z 满足（25i ） =29，则 z=（ ） A25iB2+5iC 25iD2+5i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（25i） =29，得 =2+5i 故选：A 3已知命题 p：“存在 x01，+） ，使得（log 23） 1”，则下列说法正确的是（ ）
12、Ap 是假命题；p“任意 x1，+） ，都有（log 23） x1” Bp 是真命题；p“ 不存在 x01，+） ，使得（log 23） 1” Cp 是真命题；p“ 任意 x1，+） ，都有（log 23） x1” Dp 是假命题；p“任意 x（，1） ，都有（log 23） x1” 【考点】特称命题；命题的否定 【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题 p 的真假，再根据命题的否定即可得到结 论 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：命题 p：“存在 x01，+） ，使得（log 23） 1”，因为 log231，所以 （log 23） 1 成立，故命题 p 为真命题， 则p“ 任意 x1
13、，+ ） ，都有（log 23） x1” 故选：C 4设随机变量 N（， 2） ，且 P（ 1）=P（2）=0.3，则 P（ 2 +1）=（ ） A0.4B0.5C0.6D0.7 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，且 P（ 1）=P（2）=0.3，到曲线关于 x=0.5 对称，利用 P（2） =0.3，根据概率的性质得到结果 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，且 P（1）=P （2）=0.3， 曲线关于 x=0.5 对称， P（ 2）=0.3 ， P（ 2 +1）=P（2）=0.7， 故选：D 5已知三棱锥的主视图与
14、俯视图如图，俯视图是边长是 2 的正三角形，那么该三棱锥的左 视图可能为（ ） A B C D 【考点】简单空间图形的三视图 【分析】由已知中三棱锥的主视图与俯视图，画出三棱锥的直观图，进而可判断出该三棱 锥的左视图 【解答】解：由已知中三棱锥的主视图与俯视图， 可得三棱锥的直观图如下图所示： 第 9 页（共 25 页） 其顶点 P 在 B 的正上方， 则该三棱锥的左视图为一个两直角边分别为 和 2 的直角三角形， 故选：B 6如图给出的是计算 + + + 的值的一个程序框图，则判断框内可填入的条件 是（ ） Ai1006B i1007Ci1007Di1006 【考点】循环结构 【分析】由题意
15、是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后， S 的值为 ， 执行第二次循环后，s 的值为 + ，满足 + + + ，框图应执行 1007 次循环，i 的值为 1008， 判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得出判断框中的条件 【解答】解：执行程序框图，有 s=0， 第 1 次循环：i=1，s= ， 第 2 次循环：i=2，s= + ， 第 3 次循环：i=3，s= + + ， 第 1007 次循环：i=1007 ，s= + + + ， i=1008，不满足条件，退出循环，输出 s 的值， 所以 i1007 或 i1008 故选：B 第 10 页（共 25 页） 7已
16、知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 最大值是最小值的 2 倍，则 a 的值是（ ） A2B C D 【考点】简单线性规划 【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x 可得最值，进而可得 a 的方程，解 方程可得 a 值 【解答】解：作出 所对应的可行域（如图ABC ） ， 变形 z=2x+y 可得 y=2x+z，平移直线 y=2x 可知， 当直线经过点 A（a，a）时直线截距最小，z 取最小值 3a； 当直线经过点 B（1，1）时直线截距最大， z 取最大值 3， 由题意可得 3=23a，解得 a= ， 故选：D 8函数 f（x）=sin（ x+） （其中| | ）的图象如图所示，
17、为了得到 y=sinx 的图象， 只需把 y=f（x）的图象上所有点（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 第 11 页（共 25 页） C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；函数 y=Asin（ x+）的图象变 换 【分析】根据周期求出 ，再由五点法作图求出，从而得到函数 f（x）=sin2（x+ ） ， 故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinx 的图象，从而得出结论 【解答】解：由题意可得 = = ，=2 再由五点法作图可得 2 +=，= ，故函数 f（x）=sin（x+）=sin （
18、2x+ ） =sin2（x+ ） 故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinx 的图象， 故选 A 9已知向量 ， 是单位向量，若 =0，且| |+| 2 |= ，则| + |的取值范围是 （ ） A ，5B ， C ， D ， 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】向量 ， 是单位向量， =0，取 =（1，0） ， =（0，1） 设 =（x，y） = ，根据| |+| 2 |= ，可得 + = ，设 A（1，0） ， B（0，2） 则|AB|= ，可得点 P 在线段 AB 上可得 y=22x（0x 1） 代入| + |= = =f（x） ，利用二次函数的单调性即可得出 【解
19、答】解：向量 ， 是单位向量， =0， 取 =（1，0） ， =（0，1） 设 =（x，y）= ， | |+| 2 |= ， + = ， 设 A（1，0） ，B（0，2） 则|AB|= ， 第 12 页（共 25 页） 因此点 P 在线段 AB 上 =1， 可得 y=22x（0 x1） 则| + |= = = = =f（x） ， = 为最小值， 由 f（0）= ，f（1）= ，可得最大值为 f（ x） 故选：C 10已知点 A、B、C、D 在同一球面上，AB=3，BC=4 ，AC=5，若四面体 ABCD 体积的 最大值为 10，则这个球的表面积为（ ） A B C D 【考点】球内接多面体 【
20、分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积 【解答】解：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为 6其所在球的小圆的圆 心在斜边 AC 的中点上，设小圆的圆心为 Q， 若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面积 SABC 不变，高最大时体积最大， 所以，DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为 SABCDQ=10， 即 6DQ=10， DQ=5，如图 设球心为 O，半径为 R，则在直角AQO 中， OA2=AQ2+OQ2，即 R2=2.52+（5R） 2，R= ， 则这个球的表面积为：S=4（ ） 2= 故选：D 第 13 页（共 25 页） 11
21、设双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是以 F1F2 为直 径的圆与双曲线在第一象限的一个交点，连接 PF2 并延长，与双曲线交于点 Q，若 |PF1|=|QF2|，则直线 PF2 的斜率为（ ） A2B3C1D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】设直线 PF2 的倾斜角为 ，则|PF 1|=|QF2|=2csin，|PF 2|=2ccos，可得 2a=2csin+2ccos，F 1F2Q 中，由余弦定理，化简可得 tan，即可求出直线 PF2 的斜率 【解答】解：设直线 PF2 的倾斜角为 ，则|PF 1|=|QF2|=2csin，|PF 2|=2ccos，
22、 2a=2csin+2ccos F1F2Q 中，由余弦定理可得（2csin+2csin+2ccos ） 2=4c2+（2csin） 222c（2csin） cos， 化简可得 tan=3， 故选：B 12已知函数 f（x）=x lnx+k，在区间 ，e上任取三个数 a，b，c，均存在以 f（a） ， f（b） ，f （c）为边长的三角形，则 k 的取值范围是（ ） A （1， +） B （，1）C （ ，e3）D （e3，+） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】由条件可得 2f（x） minf（x） max 且 f（x） min0，再利用导数求得函数的最值， 从而得出结论 【解答】
23、解：任取三个实数 a，b，c 均存在以 f（a） ，f（b） ，f（c）为边长的三角形， 等价于 f（a）+f （b）f（c）恒成立，可转化为 2f（x） minf （x） max 且 f（x） min0 第 14 页（共 25 页） 令 得 x=1 当 时，f（x）0； 当 1xe 时，f （x）0； 则当 x=1 时，f（x） min=f（1）=1+k， =max +1+k，e 1+k=e1+k， 从而可得 ，解得 ke 3， 故选：D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 X 是离散型随机变量，其分布列为其中 a0，b0，则 + 的最小值为 8 X 0 1
24、2 P a b 【考点】离散型随机变量及其分布列 【分析】由已知得 a0，b0，a+b= ，由此利用基本不等式能求出 + 的最小值 【解答】解：X 是离散型随机变量， a0，b0， X 的分布列性质得： + =2（ + ） （a+b ）=2（2+ + ）2（2+2 ）=8， 当且仅当 a=b= 时，取最小值， + 的最小值为 8 故答案为：8 14若函数 f（x）= 的图象关于 y 轴对称，则 a 的值为 1 【考点】对数函数的图象与性质 【分析】利用函数图象的对称性得出 f（x）=f（x） ，利用特殊值 f（1）=f（1）代入求解 即可 第 15 页（共 25 页） 【解答】解：函数 f（x
25、）= 的图象关于 y 轴对称 f（ x）=f（x） 即 x=1 时 f（1 ）=f（1） lg（ +3）=lg（ 3） = 3， （a+9）=10 a=1 故答案为：1 15已知（1x 2y） 5 的展开式中不含 x 项的系数的和为 m，则 xmdx= ln2 【考点】定积分；二项式系数的性质 【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和， 即 m 的值再根据定积分的计算法则计算 【解答】解：（1x 2y） 5 的展开式中不含 x 项的系数的和为 m， 即 5 个多项式（1x 2y）在展开时全不出 x， （1x 2y） 5 的展开式中不含 x 的项的系数和等于（
26、12y） 5 的各项系数和， 对于（12y） 5 令 y=1 得展开式的各项系数和为（1） 5=1， 则 xmdx=则 x1dx=lnx| =ln2， 故答案为：ln2 16已知等差数列a n中，a 16= ，若函数 f（x）=sin2x 2cos2 ，c n=f（a n） ，则数列c n 的前 31 的和为 31 【考点】数列的求和 【分析】等差数列a n中，a 16= ，可得 a1+a31=a2+a30=2a16=函数 f（x） =sin2xcosx1，可得 cn=f（a n）=sin2a ncosan1，c k+c32k=sin2ak+sin2a32k（cosa k+cosa32k） 2
27、，利用和差化积可得：c k+c32k=2即可得出 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：等差数列a n中，a 16= ， a1+a31=a2+a30=2a16= 函数 f（x）=sin2x 2cos2 =sin2xcosx1， cn=f（a n）=sin2a ncosan1， ck+c32k=sin2ak+sin2a32k（cosa k+cosa32k）2 =2sin（a k+a32k）cos（a ka32k） 2 =2 数列 cn的前 31 的和=2 15+（sin2a 16cosa161） =31 故答案为：31 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分.解答时应写出必要的文字说明、证
28、明过程及演算步骤） 17如图，在四边形 ABCD 中，AB=4，BC= ，CD= ，A= ，cos ADB= （1）求 BD 得长； （2）求ABC+ADC 的值 【考点】解三角形 【分析】 （1）根据正弦定理和余弦定理进行求解即可 （2）根据余弦定理先求出C 的大小即可得到结论 【解答】解：（1）在ABD 中，因为 cosADB= ADB（0，） ， 所以 sinADB= ， 根据正弦定理，有 ， 第 17 页（共 25 页） 代入 AB=4，A= ，解得 BD= ； （2）在BCD 中，根据余弦定理 cosC= ，代入 BC= ，CD= ， 得 cosC= ， 因为C （0，） ， 所以C
29、= ，所以A+C=，而在四边形 ABCD 中A+ABC+C+ADC=2， 所以ABC+ ADC= 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按0，10 ， （10，20， （20，30， （30，40 ， （40，50 分组，得到频率分布直方图 如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位： 箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） （）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高 于 20 箱的概
30、率； （）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入 各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （）按照题目要求想结果即可 （）设事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 B：在未来的 某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶 的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱求出 P（A） ，P（B） ，P（C ） （）X 的可能取值为 0，1 ，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望
31、【解答】 （共 13 分） 解：（）a=0.015； s12s 22 （）设事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱； 第 18 页（共 25 页） 事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱则 P（A ）=0.20+0.10=0.3 ，P（B）=0.10+0.20=0.3 所以 （）由题意可知，X 的可能取值为 0，1，2，3 P（X=0）=C 300.300.73=0.343， P（X=1）=C 310.310.72=0.441， P（X=2）=C 32
32、0.320.71=0.189， P（X=3）=C 330.330.70=0.027 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以 X 的数学期望 EX=00.343+10.441+20.189+30.027=0.9 19如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAC底面 ABCD，BC=CD= AC=2， （1）证明：AP BD （2）若 AP= ，且三棱锥 BAPC 的体积为 2 时，求二面角 ABPC 的余弦值 【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法 【分析】 （1）由ACB= ACD= ，BC=CD可得 BDAC再利用面面
33、垂直的性质可得 BD平面 PAC，即可证明 （2）以 O 为坐标原点，建立直角坐标系，求出平面 ABP、平面 ABP 的法向量，利用夹角 公式求出二面角 ABPC 的余弦值 【解答】 （1）证明：ACB= ACD= ，BC=CD BDAC 平面 PAC底面 ABCD，平面 PAC底面 ABCD=AC， BD平面 PAC， BDAP （2）解：作 PEAC，则 PE平面 ABC 三棱锥 BAPC 的体积为 2， 第 19 页（共 25 页） PE=2， PE= 以 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则 OC=CDcos =1 而 AC=4，得 AO=ACOC=3， 又 OD=CDsin = ， 故
34、 B（ ，0，0） ，C（0，1，0） ，A （0， 3，0） ，D （ ，0，0） 则 P（0，1， ） 所以 =（ ，3，0） ， =（ ，1， ） ， =（ ，1，0） 设平面 ABP 的法向量为 =（x，y，z ） ， ，因此可取 =（ ，1， ） 同理可得：平面 BPC 的法向量 =（ ，3，2 ） 从而法向量 ， 的夹角的余弦值为 故二面角 ABPC 的余弦值为 20设抛物线 C1：y 2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2，椭圆 C2 以 F1，F 2 为焦点且 椭圆 C2 上的点到 F1 的距离的最大值为 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 l 经过椭圆 C
35、2 的右焦点 F2，与抛物线 C1 交于 A1、A 2 两点，与椭圆 C2 交于 B1、B 2 两点，当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时，求|A 1A2|的长； （3）若 M 是椭圆上的动点，以 M 为圆心，MF 2 为半径作 M 是否存在定圆N，使得 M 与N 恒相切，若存在，求出N 的方程；若不存在，请说明理由 第 20 页（共 25 页） 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （1）由题意可知 C=1，a+c=3，即可求得 a、b 和 c 的值，即可求得椭圆的标准方 程； （2）分类当斜率不存在时，判断不成立，当斜率存在，设出直线方程，将直线方程代入椭 圆方程，得到关于 x
36、的一元二次方程，由韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A 1A2| （3）定圆 N 的方程为：（x+1） 2+y2=16，求得圆心，由抛物线的性质，可求得 |MF1|=4|MF2|，两圆相内切 【解答】解：（1）抛物线 C1：y 2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2， 椭圆 C2 的焦点坐标为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ， 设椭圆 C2 的方程为 （a b0） ， 由题意得 ，解得 a=2，c=1，b= ，椭圆的标准方程为 ， （2）当直线 l 与 x 轴垂直时， B1（1， ） ，B 2（1， ） ， 又 F1（1，0） ，此时 0， 以 B1B2 为直径的圆不经过
37、 F1，不满足条件， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为：y=k（x1） ， 由 ，即（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212=0， 焦点在椭圆内部， 恒有两个交点， 第 21 页（共 25 页） 设 B1（x 1，y 1） ，B 2（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= ， 以 B1B2 为直径的圆经过 F1， =0，又 F1（1，0） ， （ 1x1）（1x 2）+y 1y2=0， （ 1+k2）x 1x2+（1k 2） （x 1+x2）+1+k 2=0， （ 1+k2） +（1k 2）（ ）+1+k 2=0， 解得 k2= ， 由 ，得 k2x2（2
38、k 2+4）x+k 2=0， 直线 l 与抛物线有两个交点， k0，设 A1（x 3，y 3） ，A 2（x 4，y 4） ，则 x3+x4= =2+ ，x 3x4=1， |A1A2|=x3+x4+p=2+ +2= ， （3）存在定圆 N，使得M 与N 恒相切， 定圆 N 的方程为：（x+1 ） 2+y2=16，圆心是左焦点 F（1 ，0） ， 由椭圆定义知|MF 1|+|MF2|=2a=4， |MF1|=4|MF2|， 两圆相内切 21已知函数 f（x）=e xkx（x R） （）若 k=e，试确定函数 f（x）的单调区间； （）若 k0 且对任意 xR，f （|x|）0 恒成立，试确定实数
39、 k 的取值范围； （）设函数 F（x）=f （x）+f（x） ，求证：F（1）F（2）F（n）（e n+1） +2） （nN *） 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （）先确定函数的定义域，然后求导数 f（x） ，在函数的定义域内解不等式 f（x）0，f（x）0 第 22 页（共 25 页） （）f（|x| ）是偶函数，只需研究 f（x）0 对任意 x0 成立即可，即当 x0 时 f（x） min0 （）观察结论，要证 F（1）F（2）F （n）（e n+1+2） （nN *） 观察 F（1） F（n）=e n+1+e1+n+e1n+e1ne n+1+
40、2 F（2）F（n1）=e n+1+e2+n+e2n+e1ne n+1+2 规律，问题得以解决 【解答】解：（）由已知得 f（x）=e xe，令 f（x）=0，解得 x=1， 当 x（1，+）时，f（x）0，f （x）在（1，+）单调递增； 当 x（，1）时，f（x） 0， f（x）在（，1）单调递减； （）因为 f（|x| ）为偶函数， f（|x| ）0 恒成立等价于 f（x）0 对 x0 恒成立， 当 x0 时，f （x）=e xk，令 f（x）=0，解得 x=lnk 当 lnk0，即 k1 时，f（x）在（0，lnk）递减，在（lnk，+ ）单调递增， f（ x） min=f（lnk）=
41、k klnk0，解得 0ke， 实数 k 的取值范围 0ke； （）函数 F（x）=f （x）+f （x）=e xex，F（1）=e+e 1，F （n）=e n+en， F（1）F（n）=e n+1+e1+n+e1n+e1ne n+1+2 F（2）F（n1）=e n+1+e3+n+e3n+e1ne n+1+2 F（n）F（1）e n+1+2 以上各式相乘得 F（1）F（2）F （n） 2（ en+1+2） n F（ 1）F（2）F （n）（e n+1+2） （n N*） 选做题（请从 22,23,24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4- 1：几何证明选讲（共 1 小题
42、，满分 10 分） 22选修 41：几何证明选讲 如图，已知 C 点在 O 直径的延长线上，CA 切O 于 A 点，DC 是ACB 的平分线，交 AE 于 F 点，交 AB 于 D 点 （1）求ADF 的度数； （2）若 AB=AC，求 AC：BC 第 23 页（共 25 页） 【考点】弦切角；与圆有关的比例线段 【分析】 （1）由弦切角定理可得B=EAC，由 DC 是 ACB 的平分线，可得 ACD=DCB，进而ADF=AFD，由 BE 为O 的直径，结合圆周角定理的推论，可得 ADF 的度数； （2）由（1）的结论，易得ACE BCA，根据三角形相似的性质可得 ，又由 AB=AC，可得 A
43、C：BC=tanB，求出 B 角大小后，即可得到答案 【解答】 （1）因为 AC 为 O 的切线，所以 B=EAC 因为 DC 是 ACB 的平分线，所以ACD=DCB 所以B+ DCB=EAC+ACD，即ADF=AFD， 又因为 BE 为O 的直径，所以DAE=90 所以 （2）因为B=EAC，所以ACB=ACB，所以ACEBCA，所以 ， 在ABC 中，又因为 AB=AC，所以B= ACB=30，Rt ABE 中， 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ） ，半径 r= （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0， ） ，直线 l 的参数方程为 （t
44、 为参数） ，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 【分析】 （）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用 cos=x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的极坐标方程 （）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则|AB|=|t 1t2|，化为关于 的三角函数求 解 【解答】解：（）C （ ， ）的直角坐标为（1，1） ， 圆 C 的直角坐标方程为（x 1） 2+（y 1） 2=3 化为极坐标方程是 22（cos+sin）1=0 第 24 页（共 25 页） （）将
45、 代入圆 C 的直角坐标方程（x 1） 2+（y1） 2=3， 得（1+tcos） 2+（1+tsin ） 2=3， 即 t2+2t（cos+sin）1=0 t1+t2=2（cos +sin） ，t 1t2=1 |AB|=|t1t2|= =2 0， ） ， 20， ） ， 2 |AB|2 即弦长|AB|的取值范围是2 ，2 ） 选修 4-5：不等式选讲 24设函数 f（x）=|2x+1| ，xR （1）求不等式|f（x）2| 5 的解集； （2）若 g（x）= 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 【考点】绝对值不等式的解法 【分析】 （1）由不等式|f（x）2| 5，可得72x+17，由此求得它的解集 （2）由题意可得|2x+1|+|2x1|+m0 恒成立利用绝对值三角不等式可得 |2x+1|+|2x1|2， 可得 m 的范围 【解答】解：（1）由不等式|f（x）2| 5，可得5f（x） 25，3f（x） 7，即|2x+1|7， 即7 2x+17，即 4x3，故不等式 |f（x） 2|5 的解集为4，3 （2）由
