1、 毕业论文文献综述 信息与计算科学 换元法在数学解题中的应用 一、前言部分 有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。 数学中这样的例子有很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。解题中常用到的换元法，其实也就是这
2、一思想的具体体现。 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数 、数列、三角等问题中有广泛的应用。尤其是在积分中应用很是广泛。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
3、变得容易处理。 为了使复杂繁琐的数学问题得到解决，利用换元法应进行有效替换。在具体问题中，针对替换的有效性，人们做了很多的探讨。有很多文章探讨了数学问题中的换元技巧，例如积分中的换元技巧、三角换元、无理递推式换元技巧等等。每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。分析各种换元形式 的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。 当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。 解题过程中，当遇到已知条件多而分散或者已知条件和
4、结论之间似乎缺少必然的联系，有时甚至好像隔着一条难以逾越的鸿沟，这时完成解题的关键在于发现它们之间的联系。此时就应该考虑引进中介元素，起到桥梁作用，把问题解决。 一些无现成模式可用的数学命题，换元往往就是寻找 解题思路的过程，恰当的换元，可为解题提供新的信息和依据，解题思路也就伴随而生。许多问题隐含在深处，不易被发现，若能恰当地换元，则可把隐含的问题显示出来。因而换元法是寻找解题突破口，叩开解题之门的钥匙。 二、主题部分 在数学解题中，对于引进辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。又称变量代换法或辅助元素法。解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出
5、结论时，往往需要引入一个或若干个 “新元 ”代换问题中原来的 “元 ”，使以 “新元 ”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。 换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。 在解数学题时 , 把某个式子看成一个整体 ,用一个变量去代替它 ,从而使问题得到简化。换元的实质是转化 , 关键是构造元和设元 ,理论依据是等量代换 , 目的是变换研究对象 ,将问题移至新对象的知识背景中去研究 ,把分散的条件联系起来 ,隐含
6、的条件显露出来 ,或者把条件与结论联系起来 ,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化 .通过引进新的变量 (辅助元素 ) ,可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式 , 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有着广泛的应用。 1定积分换元法 定理 11 若函数 )(xf 在 , ba 上连续，函数 )(tx 满足下列条件： (i) )(t 在 , 上连续且 )(,)( tbta ; (ii) ba )(,)( ； (iii) )(t 在 ),( 上连续。 则 dtttfdxxfba )()()(例 用代换 xx sin 求积分 210 xdx解
7、 xxf )( 在定义域 ),( I 上连续； xx sin 当 0x 时 1nt ； 21x 时， 6)1(2 nt 其中 21,nn 是任意整数，又 )21,0()6)1(,(,s i n|),( 221 nnnttxxI 故816)1(2c o s41c o ss i n126)1(2102221 nntt d ttx d x nnn n 定理 22 若 )(xf 在闭区间 , ba 上可积，则 baba dxxbafdxxf )()(推论 1 若 )(xf 在 , ba 上可积，则 bb dxxbfdxxf00 )()(推论 2 bbbaba dxxbfxfdxxfdxxbafxfdx
8、xf 00 )()(21)(,)()(21)(例 计算 40 2s in1 2s in1 dxxxI 解 利用推论 1， 4b ，故 40 24040 t a n2c o s1 2c o s1)4(2s i n1 )4(2s i n1 x d xdxxxdxxxI4140 4t a n)1( s e c40 2 xdxx 定理 32 设 )(xf 在 , ba 上 可 积 ， 则 对 任 意 的 a 和 b 有 2 )()()( baaba dxxbafxfdxxf . 推论 3 )(xf 在 , aa 上可积，则 aaa dxxfxfdxxf 0 )()()(例 计算 16516399c o
9、 ss in51 c o ss in dxxxxI解 利用定理 3 知， 2,165,163 baba ,00)2c o s ()2s i n (51)2(c o s)2(s i nc o ss i n51c o ss i n 416341639999 dxdxxxxxxxxxI 公式 13 若函数 )(xf 在区间 , ba 上连续，函数 )(tx 在区间 , 上有连续导数 )(t ，当 t 在 , 上变化时，函数 )(tx 的值在 , ba 上变化，并且 ba )(,)( ，则 dtttfdxxfba )()()( . 2证明定积分等式 换元法是证明积分等式的最常用方法 ,其基本思路是 :
10、利用定积分与积分变量无关的性质 ,利用适当的变量替换将积分等式的一端向另一端转化。常用的换元思路如下 : (1) 若等式一端的被积函数或其主要部分为 )(xf ，而另一端为 )( xf ，则可作代换)(xt ； (2) 若等式两端的被积表达式相同，则代换依据等式两端的积分限； (3) 含参变量的积分等式通常需要利用变量替换将含参变量的积分变形处理。 例 设 )(xf 连续 ， 证明 baba dxxbafdxxf )()(证 令 xbat ，则有 bababa dxxfdttfdxxbaf )()()( .3不定积分换元法 定理 35 (第一换元法 )设 )(ug 的原函数为 )(uF , )
11、(xu 可导，则有换元公式：CxFCuFduugdxxxg )()()()()( 例 duuxdxdxxxdxx x 1012101010 21)12()12(21)12()12(21)12(CxCu xu 111211 )12(2211121 定理 45 （第二类换元积分法）设 )(tx 是单调可导函数，且 0)( t ，又设 )()( ttf 具有原函数 )(tF ，则 CxFCtFdtttfdxxf )()()()()( ，其中 )(x 是)(tx 的反函数。 例 求 dxxx )2( 17解 令 tx 1 ，则 dttdx 21，于是 dtttdxxx )1(2)1( 1)2( 1 2
12、77CxtCtdttt ln2121ln14121ln14121 7776 4二重积分换元法及其推导方法 以定积分的换元法为基础 , 推导二重积分的换元积分公式 , 它的一般步骤是 : 1) 在直角坐标系中化二重积分为二次积分 ; 2) 将二次积分的内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成一个新的积分变量 ; 3) 改变二次积分的顺序 , 使另一个旧变量的积分居于内层 , 再将此内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成另一个新的变量 ; 4) 把关于两个新变量的二次积分变回到二重积分。 定理 56 若函数 ),( yxf 在有界闭区间 D 连续，函数组 (1)： ),( ),( vuyy
13、vuxx，将 uov 平面的区域 D 一对一地变换为 xoy 平面上的区域 D ，且函数组 (1)在 D 上对 u 与 v 存在连续偏导数， Dvu ),( 有 0),( ),(),( vu yxvuJ，则 DD dudvvuJvuyvuxfd x d yyxf ),(),(),(),( 例 求曲线 )0,0()( 2 babyaxbyax 与 0y 所围成的区域 D 的面积。 解 作代换：byaxv byaxu即：)(2)(2vubyvuax ，则 D 由抛物线 vu 2 和直线 vu 围成。所以 2),(;10: 2 abvuJuvuuD DDa b a bS d x d y J ( u
14、, v ) d ud v d u d v . 11001 2 1 25 三角函数换元 三角换元法是指根据题中已知条件，引进一个或多个三角函数来代替题中表达式中的某些字母或代数式，把一个较复杂的问题转化为三角问题，在利用三角函数的性质及三角恒等式去解决。 三角换元法是数学中常用的思想，它是根据待求解式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果。换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的。 例 求 )2( xxxy 的值域。 解
15、 由 0)2( xx ，得 20 x ，所以 111 x .令 2,2,s in1 x ，则)4s i n (211c o ss i n1s i n1s i n1)1(11 22 xxy故当 4 （这时 221x）时， 21max y ；而当 2 （这时 0x ）时，0miny 21,0 y . 6.无理递推数列换元 无理递推式数列问题这类问题的焦点都可以归结到求数列的通项 . 处理这类问题的一种重要方法就是换元法 . 通过换元 ,可以化无理递推式为有理递推式 ,从而建立新型的递推关系 . 我们可以利用整体换元、三角换元、对数换元、多次换元来解决这类问题。 例 已知 )0(.1 4 11 aa
16、xxx nn ，求数列的通项公式 nx 。 解 因为 011 x ，所以 0,0,0 32 nxxx .对 4 1 nn axx 两边取常用对数得)lg(lg41lg 1 axx nn 。设 11 lg,lg nnnn xbxb 则 )lg(41 1 abb nn 。即abb nn lg4 1 。恒等变形得 ababa nn lg31)lg31( 1 即 41lg31lg311 ababnn .由0lg 11 xb ,得 aab lg31lg311 .从而， 1)41)(lg31(lg31 nn aab .故)41(13111 1lglg)41(131)41(lg31lg31 naaaab n
17、nn .又因为 nn xb lg ,所以 , 2)41(131 )1(2163lglg 1nnn yyax n .令nn yt1 .则111 nn yt.故23)23(2263 221 nnnn tttt .从而， 21 )23(223 nn tt .两边取常对数得)23lg (22lg)23lg ( 1 nn tt .令 )23lg( nn tb ,则 )23lg( 11 nn tb .故nn bb 22lg1 ,即 )2lg(22lg1 nn bb .从而， 22lg 2lg1 nnbb .由 11x ,知 11y ,进而 11t .于是， 5lg)231lg(1 b,即 5lg2lg25
18、lg2lg1 b.因此，12)5(lg2lg nnb ,即 125lg2lg)23lg ( nnt .从而 125)23(2 nnt ,即12532 nnt .故 12532 nny,即 122 532 nnx,因为 0nx 所以35212 nnx. 通过以上所有例子可以看出，数学计算中 ,换元法的确有着极其重要的作用。学会运用换元法 ,不但可以沟通数学各个分支之间的联系 ,还可以扩大视野 ,培养学生的计算能力。 三、总结部分 换元法在解决定积分、不定积分、三角函数、二重积分、含无理递推式等数学问题中有着广泛的应用，换元法是解决复杂繁琐数学问题的重要工具。 解数学问题时，当遇到代数中式子较烦或
19、解法比较复杂时，如果能从式子的特殊性中挖掘并发挥换元的因素，这样往往能够产生更为简洁的解法，把繁难的计算和推理简化。从而达到化难为易、化深为浅、化繁为简的目的。这就是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。 换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。 利用换元法解数学题的关键在于适当地选择 “ 新元 ” ，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。 即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 换
20、元法的一般步骤是： 设元（或构造元） 求解 回代 检验 转化 等量代换 等价原则 对于一些较复杂的题目 ,我们还应当通过认真观察问题的结构特征 ,深入分析问题的隐含条件 ,采用类比、联想猜测等手段进行适当的换元 ,并综合运用各方面的知 识给予解决。 四、参考文献 1 袁肇邦 .关于定积分换元法定理 J.鞍山师范学院学报 .1992， (3):35-37. 2 李开丁 .定积分的二种换元法及其应用 J.高等数学研究 .1999， 12(4)： 15-18. 3 童宏胜 .定积分换元公式的几个推论及应用 J.河南广播电视大学学报 .2006,04,(4)：58-60. 4 李源 .证明定积分等式的
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