1、第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 ， ， ：ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求：矢量 的单位矢量 ；AAa矢量 和 的夹角 ；BB 和 （ ）和（ ） ；ACAC （ ）和（ ）BB解： = = = （ +2 -3 ）/Aa149xayz14 = /cosB=A35.o = 11, = 10 4xayz （ ）= 42BC（ ） = 42A （ ）=55 44 11xayza（ ） =2 40 +5BCz1.3 有一个二维矢量场 = （ y）+ (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图F(r)x形。解：由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量
2、场 =ln（ + + ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。xyz解：等值面方程为 ln（ + + ）=c2xy2z则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 （x,y,z）=6 + 在点 P（2，-1 ，0）的梯度。2x3yze解：由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为A= 3 + （3y+z）+ (3z x)xa2yza验证散度定
3、理。解： = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6xoz)yzxo= =0dy23dyz+ = + =AS上 下 (6cos)d上 cosd下 27=193sd = =6 =193V(6)xd(cos1)Vdz即： =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分，再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分，验证斯托克斯定理。解： = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdA2Sy2sinSd4a即： = ，得证。l1.15 求下列标量场的梯度：u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+
4、 xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 =A = （x x）+ （y y）+ （z z）=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求：P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ；rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ；R 和 ；
5、r 。1()R解： = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = （x x）+ （y y）+ （z z）Rra = , =3r0 22211()()()Rxyz=( + + )xayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= （x x）+ （y y）+ （z z）1a= 3即： =1()R3第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 ， ， ：ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求：矢量 的单位矢量 ；AAa矢量 和 的夹角 ；BB 和 （ ）和（ ） ；ACAC （ ）和（ ）BB解： = = = （ +2 -3 ）/Aa149xayz14
6、= /cosAB=135.o = 11, = 10 4xayz （ ）= 42ABC（ ） = 42 （ ）=55 44 11xayza（ ） =2 40 +5ABCz1.3 有一个二维矢量场 = （ y）+ (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图F(r)x形。解：由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量场 =ln（ + + ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。xyz解：等值面方程为 ln（ + + ）=c22则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 （x,y,z）=6 + 在点 P（2，-1 ，0）的梯度。2x3yze解：
7、由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为A= 3 + （3y+z）+ (3z x)xa2yza验证散度定理。解： = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6AdSxoz(3)yzdxxo= =0y2yz+ = + =dS上 下 (6cos)d上 cosd下 27=193sA = =6 =193dV(6)x
8、d(cos1)Vdz即： =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分，再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分，验证斯托克斯定理。解： = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdS2sinSdA4a即： = ，得证。lA1.15 求下列标量场的梯度：u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+ xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +
9、3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2A(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 = = （x x）+ （y y）+ （z z）=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求：P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ；rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ；R 和 ；r 。1()R解： = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = （x x）+ （y y）+ （z z）Rra = , =30 22211()()()xyz=( + + )Rxayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= （x x）
10、+ （y y）+ （z z）1a= 3即： =1()R3第二章 习题解答2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面，由高斯定理 =Q，及 得，SDdAE r a 时，由 = ，得S2243ra34QrD30Ea ra 时，由 =Q，得SDdA34Qr30Er2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a0 的区域外电场强度为 0，即：= =0，得 =120ssre1S2sa2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的
11、电场为 ，计算：4()rEa球内电荷分布；球的外表面的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。解：由 ，得0vEA304ra re0srrD由高斯定理 = =qSdA24r当 r a 时，q=2Q ， Q=0a02rQ .aEdl=2.2ara2.17 一个有两层介质（ ， ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 和 ，电12 12容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求：电容器的电场强度；两种介质分界面上表面的自由电荷密度；电容器的漏电导；当满足参数是 ，问 G/C=?(C 为电容器电容 )121解：由 ，得121n2ED,JU，1212d212d两介质分界面的法线由 1 指向 2由 ，得21sE=s212Ud12d由 ，知IJES121dG= =IU21S =DQC21dG/C= 1
